步骤解析：

1. 确定范围： 找出5到20之间的自然数。

这些数字是：5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20。

1. 排除平方为整数的数字： 检查每个数字的平方是否为完全平方数（即√n是整数）。

2. √5 ≈ 2.236 → 非整数，保留。

3. √9 = 3 → 整数，排除。
4. √16 = 4 → 整数，排除。

剩余数字：5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20。

1. 选择10个数： 在剩下的数字中选择10个不同的自然数。例如：

2. 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

3. 计算平均值：

计算这10个数的总和： [ 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 = 101 ]

平均值为： [ \frac{101}{10} = 10.1 ]

取整后结果是10。

最终答案：

取整后的平均数为\boxed{10}。

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